3.171 \(\int \frac{(a+b \tan (e+f x))^m (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x))}{(c+d \tan (e+f x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=702 \[ \frac{(a+b \tan (e+f x))^{m+1} \left (2 a^2 d^3 \left (d (A-C) \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right )-2 a b d^2 \left (2 c d (A-C) \left (c^2 (3-m)-d^2 (m+1)\right )+B \left (6 c^2 d^2+c^4 (-(2-m))-d^4 m\right )\right )-b^2 \left (A d^2 \left (2 c^2 d^2 \left (-m^2+3 m+1\right )+c^4 \left (-\left (m^2-5 m+6\right )\right )+d^4 (1-m) m\right )+B c d \left (-2 c^2 d^2 \left (-m^2+m+3\right )+c^4 \left (m^2-3 m+2\right )+d^4 m (m+1)\right )+c^2 C \left (2 c^2 d^2 \left (-m^2-m+3\right )+c^4 (1-m) m-d^4 \left (m^2+3 m+2\right )\right )\right )\right ) \text{Hypergeometric2F1}\left (1,m+1,m+2,-\frac{d (a+b \tan (e+f x))}{b c-a d}\right )}{2 f (m+1) \left (c^2+d^2\right )^3 (b c-a d)^3}+\frac{(A-i B-C) (a+b \tan (e+f x))^{m+1} \text{Hypergeometric2F1}\left (1,m+1,m+2,\frac{a+b \tan (e+f x)}{a-i b}\right )}{2 f (m+1) (b+i a) (c-i d)^3}+\frac{(A+i B-C) (a+b \tan (e+f x))^{m+1} \text{Hypergeometric2F1}\left (1,m+1,m+2,\frac{a+b \tan (e+f x)}{a+i b}\right )}{2 f (m+1) (a+i b) (-d+i c)^3}-\frac{(a+b \tan (e+f x))^{m+1} \left (2 a d^2 \left (2 c d (A-C)-B \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (c^2 d^2 (A (5-m)-C (m+3))+A d^4 (1-m)-B c^3 d (3-m)+B c d^3 (m+1)+c^4 C (1-m)\right )\right )}{2 f \left (c^2+d^2\right )^2 (b c-a d)^2 (c+d \tan (e+f x))}+\frac{\left (A d^2-B c d+c^2 C\right ) (a+b \tan (e+f x))^{m+1}}{2 f \left (c^2+d^2\right ) (b c-a d) (c+d \tan (e+f x))^2} \]

[Out]

((A - I*B - C)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)
)/(2*(I*a + b)*(c - I*d)^3*f*(1 + m)) + ((A + I*B - C)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])
/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(a + I*b)*(I*c - d)^3*f*(1 + m)) + ((2*a^2*d^3*((A - C)*d*(3*c^2
- d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)) - 2*a*b*d^2*(B*(6*c^2*d^2 - c^4*(2 - m) - d^4*m) + 2*c*(A - C)*d*(c^2*(3 - m) - d^
2*(1 + m))) - b^2*(A*d^2*(d^4*(1 - m)*m + 2*c^2*d^2*(1 + 3*m - m^2) - c^4*(6 - 5*m + m^2)) + B*c*d*(d^4*m*(1 +
m) - 2*c^2*d^2*(3 + m - m^2) + c^4*(2 - 3*m + m^2)) + c^2*C*(c^4*(1 - m)*m + 2*c^2*d^2*(3 - m - m^2) - d^4*(2
+ 3*m + m^2))))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))]*(a + b*Tan[e + f*
x])^(1 + m))/(2*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^3*f*(1 + m)) + ((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)
)/(2*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - ((2*a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)) - b*(c^4*C*
(1 - m) + A*d^4*(1 - m) - B*c^3*d*(3 - m) + B*c*d^3*(1 + m) + c^2*d^2*(A*(5 - m) - C*(3 + m))))*(a + b*Tan[e +
f*x])^(1 + m))/(2*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.93764, antiderivative size = 702, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 10, number of rules used = 6, integrand size = 45, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.133, Rules used = {3649, 3653, 3539, 3537, 68, 3634} \[ \frac{(a+b \tan (e+f x))^{m+1} \left (2 a^2 d^3 \left (d (A-C) \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right )-2 a b d^2 \left (2 c d (A-C) \left (c^2 (3-m)-d^2 (m+1)\right )+B \left (6 c^2 d^2+c^4 (-(2-m))-d^4 m\right )\right )-b^2 \left (A d^2 \left (2 c^2 d^2 \left (-m^2+3 m+1\right )+c^4 \left (-\left (m^2-5 m+6\right )\right )+d^4 (1-m) m\right )+B \left (-2 c^3 d^3 \left (-m^2+m+3\right )+c^5 d \left (m^2-3 m+2\right )+c d^5 m (m+1)\right )+c^2 C \left (2 c^2 d^2 \left (-m^2-m+3\right )+c^4 (1-m) m-d^4 \left (m^2+3 m+2\right )\right )\right )\right ) \, _2F_1\left (1,m+1;m+2;-\frac{d (a+b \tan (e+f x))}{b c-a d}\right )}{2 f (m+1) \left (c^2+d^2\right )^3 (b c-a d)^3}-\frac{(a+b \tan (e+f x))^{m+1} \left (2 a d^2 \left (2 c d (A-C)-B \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (c^2 d^2 (A (5-m)-C (m+3))+A d^4 (1-m)-B c^3 d (3-m)+B c d^3 (m+1)+c^4 C (1-m)\right )\right )}{2 f \left (c^2+d^2\right )^2 (b c-a d)^2 (c+d \tan (e+f x))}+\frac{\left (A d^2-B c d+c^2 C\right ) (a+b \tan (e+f x))^{m+1}}{2 f \left (c^2+d^2\right ) (b c-a d) (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{(A-i B-C) (a+b \tan (e+f x))^{m+1} \, _2F_1\left (1,m+1;m+2;\frac{a+b \tan (e+f x)}{a-i b}\right )}{2 f (m+1) (b+i a) (c-i d)^3}+\frac{(A+i B-C) (a+b \tan (e+f x))^{m+1} \, _2F_1\left (1,m+1;m+2;\frac{a+b \tan (e+f x)}{a+i b}\right )}{2 f (m+1) (a+i b) (-d+i c)^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((a + b*Tan[e + f*x])^m*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^3,x]

[Out]

((A - I*B - C)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)
)/(2*(I*a + b)*(c - I*d)^3*f*(1 + m)) + ((A + I*B - C)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])
/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(a + I*b)*(I*c - d)^3*f*(1 + m)) + ((2*a^2*d^3*((A - C)*d*(3*c^2
- d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)) - 2*a*b*d^2*(B*(6*c^2*d^2 - c^4*(2 - m) - d^4*m) + 2*c*(A - C)*d*(c^2*(3 - m) - d^
2*(1 + m))) - b^2*(A*d^2*(d^4*(1 - m)*m + 2*c^2*d^2*(1 + 3*m - m^2) - c^4*(6 - 5*m + m^2)) + B*(c*d^5*m*(1 + m
) - 2*c^3*d^3*(3 + m - m^2) + c^5*d*(2 - 3*m + m^2)) + c^2*C*(c^4*(1 - m)*m + 2*c^2*d^2*(3 - m - m^2) - d^4*(2
+ 3*m + m^2))))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))]*(a + b*Tan[e + f*
x])^(1 + m))/(2*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^3*f*(1 + m)) + ((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)
)/(2*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - ((2*a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)) - b*(c^4*C*
(1 - m) + A*d^4*(1 - m) - B*c^3*d*(3 - m) + B*c*d^3*(1 + m) + c^2*d^2*(A*(5 - m) - C*(3 + m))))*(a + b*Tan[e +
f*x])^(1 + m))/(2*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))

Rule 3649

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*t
an[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(a + b*T
an[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(
b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[A*(a*(b*c - a*d)*(m + 1)
- b^2*d*(m + n + 2)) + (b*B - a*C)*(b*c*(m + 1) + a*d*(n + 1)) - (m + 1)*(b*c - a*d)*(A*b - a*B - b*C)*Tan[e
+ f*x] - d*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C,
n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !I
ntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

Rule 3653

Int[(((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2))/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[1/(a^2 + b^2), Int[(c + d*Tan[e + f*
x])^n*Simp[b*B + a*(A - C) + (a*B - b*(A - C))*Tan[e + f*x], x], x], x] + Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 +
b^2), Int[((c + d*Tan[e + f*x])^n*(1 + Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !GtQ[n, 0] &&  !LeQ[n, -
1]

Rule 3539

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c
+ I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(1 - I*Tan[e + f*x]), x], x] + Dist[(c - I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x]
)^m*(1 + I*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0]
&& NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

Rule 3537

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c*
d)/f, Subst[Int[(a + (b*x)/d)^m/(d^2 + c*x), x], x, d*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 68

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((b*c - a*d)^n*(a + b*x)^(m + 1)*Hype
rgeometric2F1[-n, m + 1, m + 2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(b^(n + 1)*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m
}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&  !IntegerQ[m] && IntegerQ[n]

Rule 3634

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_) + (C_.)*
tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Dist[A/f, Subst[Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n, x], x, Tan[e + f*x]], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && EqQ[A, C]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(a+b \tan (e+f x))^m \left (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)\right )}{(c+d \tan (e+f x))^3} \, dx &=\frac{\left (c^2 C-B c d+A d^2\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (b c-a d) \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{\int \frac{(a+b \tan (e+f x))^m \left (A \left (2 c (b c-a d)+b d^2 (1-m)\right )+(c C-B d) (2 a d-b c (1+m))+2 (b c-a d) (B c-(A-C) d) \tan (e+f x)+b \left (c^2 C-B c d+A d^2\right ) (1-m) \tan ^2(e+f x)\right )}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx}{2 (b c-a d) \left (c^2+d^2\right )}\\ &=\frac{\left (c^2 C-B c d+A d^2\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (b c-a d) \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{\left (2 a d^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (c^4 C (1-m)+A d^4 (1-m)-B c^3 d (3-m)+B c d^3 (1+m)+c^2 d^2 (A (5-m)-C (3+m))\right )\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}+\frac{\int \frac{(a+b \tan (e+f x))^m \left (-\left (2 d (b c-a d) (B c-(A-C) d)-b c \left (c^2 C-B c d+A d^2\right ) (1-m)\right ) (a d-b c (1+m))-\left (a c d-b \left (c^2-d^2 m\right )\right ) \left (A \left (2 c (b c-a d)+b d^2 (1-m)\right )+(c C-B d) (2 a d-b c (1+m))\right )-2 (b c-a d)^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right ) \tan (e+f x)+b m \left (2 a d^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (A d^4 (1-m)-B c^3 d (3-m)+B c d^3 (1+m)+c^4 (C-C m)+c^2 d^2 (A (5-m)-C (3+m))\right )\right ) \tan ^2(e+f x)\right )}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{2 (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right )^2}\\ &=\frac{\left (c^2 C-B c d+A d^2\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (b c-a d) \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{\left (2 a d^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (c^4 C (1-m)+A d^4 (1-m)-B c^3 d (3-m)+B c d^3 (1+m)+c^2 d^2 (A (5-m)-C (3+m))\right )\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}+\frac{\int (a+b \tan (e+f x))^m \left (2 (b c-a d)^2 \left (A c^3-c^3 C+3 B c^2 d-3 A c d^2+3 c C d^2-B d^3\right )-2 (b c-a d)^2 \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right ) \tan (e+f x)\right ) \, dx}{2 (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right )^3}+\frac{\left (2 a^2 d^3 \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right )-2 a b d^2 \left (B \left (6 c^2 d^2-c^4 (2-m)-d^4 m\right )+2 c (A-C) d \left (c^2 (3-m)-d^2 (1+m)\right )\right )-b^2 \left (A d^2 \left (d^4 (1-m) m+2 c^2 d^2 \left (1+3 m-m^2\right )-c^4 \left (6-5 m+m^2\right )\right )+B \left (c d^5 m (1+m)-2 c^3 d^3 \left (3+m-m^2\right )+c^5 d \left (2-3 m+m^2\right )\right )+c^2 C \left (c^4 (1-m) m+2 c^2 d^2 \left (3-m-m^2\right )-d^4 \left (2+3 m+m^2\right )\right )\right )\right ) \int \frac{(a+b \tan (e+f x))^m \left (1+\tan ^2(e+f x)\right )}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{2 (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right )^3}\\ &=\frac{\left (c^2 C-B c d+A d^2\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (b c-a d) \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{\left (2 a d^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (c^4 C (1-m)+A d^4 (1-m)-B c^3 d (3-m)+B c d^3 (1+m)+c^2 d^2 (A (5-m)-C (3+m))\right )\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}+\frac{(A-i B-C) \int (1+i \tan (e+f x)) (a+b \tan (e+f x))^m \, dx}{2 (c-i d)^3}+\frac{(A+i B-C) \int (1-i \tan (e+f x)) (a+b \tan (e+f x))^m \, dx}{2 (c+i d)^3}+\frac{\left (2 a^2 d^3 \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right )-2 a b d^2 \left (B \left (6 c^2 d^2-c^4 (2-m)-d^4 m\right )+2 c (A-C) d \left (c^2 (3-m)-d^2 (1+m)\right )\right )-b^2 \left (A d^2 \left (d^4 (1-m) m+2 c^2 d^2 \left (1+3 m-m^2\right )-c^4 \left (6-5 m+m^2\right )\right )+B \left (c d^5 m (1+m)-2 c^3 d^3 \left (3+m-m^2\right )+c^5 d \left (2-3 m+m^2\right )\right )+c^2 C \left (c^4 (1-m) m+2 c^2 d^2 \left (3-m-m^2\right )-d^4 \left (2+3 m+m^2\right )\right )\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(a+b x)^m}{c+d x} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{2 (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right )^3 f}\\ &=\frac{\left (2 a^2 d^3 \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right )-2 a b d^2 \left (B \left (6 c^2 d^2-c^4 (2-m)-d^4 m\right )+2 c (A-C) d \left (c^2 (3-m)-d^2 (1+m)\right )\right )-b^2 \left (A d^2 \left (d^4 (1-m) m+2 c^2 d^2 \left (1+3 m-m^2\right )-c^4 \left (6-5 m+m^2\right )\right )+B \left (c d^5 m (1+m)-2 c^3 d^3 \left (3+m-m^2\right )+c^5 d \left (2-3 m+m^2\right )\right )+c^2 C \left (c^4 (1-m) m+2 c^2 d^2 \left (3-m-m^2\right )-d^4 \left (2+3 m+m^2\right )\right )\right )\right ) \, _2F_1\left (1,1+m;2+m;-\frac{d (a+b \tan (e+f x))}{b c-a d}\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right )^3 f (1+m)}+\frac{\left (c^2 C-B c d+A d^2\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (b c-a d) \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{\left (2 a d^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (c^4 C (1-m)+A d^4 (1-m)-B c^3 d (3-m)+B c d^3 (1+m)+c^2 d^2 (A (5-m)-C (3+m))\right )\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}-\frac{(i (A+i B-C)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(a+i b x)^m}{-1+x} \, dx,x,-i \tan (e+f x)\right )}{2 (c+i d)^3 f}+\frac{(A-i B-C) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(a-i b x)^m}{-1+x} \, dx,x,i \tan (e+f x)\right )}{2 (i c+d)^3 f}\\ &=-\frac{(A-i B-C) \, _2F_1\left (1,1+m;2+m;\frac{a+b \tan (e+f x)}{a-i b}\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (a-i b) (i c+d)^3 f (1+m)}-\frac{(A+i B-C) \, _2F_1\left (1,1+m;2+m;\frac{a+b \tan (e+f x)}{a+i b}\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (i a-b) (c+i d)^3 f (1+m)}+\frac{\left (2 a^2 d^3 \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right )-2 a b d^2 \left (B \left (6 c^2 d^2-c^4 (2-m)-d^4 m\right )+2 c (A-C) d \left (c^2 (3-m)-d^2 (1+m)\right )\right )-b^2 \left (A d^2 \left (d^4 (1-m) m+2 c^2 d^2 \left (1+3 m-m^2\right )-c^4 \left (6-5 m+m^2\right )\right )+B \left (c d^5 m (1+m)-2 c^3 d^3 \left (3+m-m^2\right )+c^5 d \left (2-3 m+m^2\right )\right )+c^2 C \left (c^4 (1-m) m+2 c^2 d^2 \left (3-m-m^2\right )-d^4 \left (2+3 m+m^2\right )\right )\right )\right ) \, _2F_1\left (1,1+m;2+m;-\frac{d (a+b \tan (e+f x))}{b c-a d}\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right )^3 f (1+m)}+\frac{\left (c^2 C-B c d+A d^2\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (b c-a d) \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{\left (2 a d^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (c^4 C (1-m)+A d^4 (1-m)-B c^3 d (3-m)+B c d^3 (1+m)+c^2 d^2 (A (5-m)-C (3+m))\right )\right ) (a+b \tan (e+f x))^{1+m}}{2 (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.23456, size = 2238, normalized size = 3.19 \[ \text{Result too large to show} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[((a + b*Tan[e + f*x])^m*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^3,x]

[Out]

-((A*d^2 - c*(-(c*C) + B*d))*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(-(b*c) + a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]
)^2) - (-(((-(c*(2*d*(b*c - a*d)*(B*c - (A - C)*d) - b*c*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(1 - m))) + d^2*(A*(2*c*(b*c
- a*d) + b*d^2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m))))*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/((-(b*c) + a*d)*(c
^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))) - (-(((-(c*d*(-(b*c) + a*d)*(-2*c*(b*c - a*d)*(B*c - (A - C)*d) - b*d*(c^2*
C - B*c*d + A*d^2)*(1 - m) + d*(A*(2*c*(b*c - a*d) + b*d^2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m))))) - b
*c^2*m*(-(c*(2*d*(b*c - a*d)*(B*c - (A - C)*d) - b*c*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(1 - m))) + d^2*(A*(2*c*(b*c - a*
d) + b*d^2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m)))) + d^2*((2*d*(b*c - a*d)*(B*c - (A - C)*d) - b*c*(c^2
*C - B*c*d + A*d^2)*(1 - m))*(-(a*d) + b*c*(1 + m)) + (-(c*(-(b*c) + a*d)) - b*d^2*m)*(A*(2*c*(b*c - a*d) + b*
d^2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m)))))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (d*(a + b*Tan[e + f*x])
)/(-(b*c) + a*d)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/((-(b*c) + a*d)*(c^2 + d^2)*f*(1 + m))) + (((I/2)*(d*(-(b*c) +
a*d)*(-2*c*(b*c - a*d)*(B*c - (A - C)*d) - b*d*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(1 - m) + d*(A*(2*c*(b*c - a*d) + b*d^
2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m)))) + c*((2*d*(b*c - a*d)*(B*c - (A - C)*d) - b*c*(c^2*C - B*c*d
+ A*d^2)*(1 - m))*(-(a*d) + b*c*(1 + m)) + (-(c*(-(b*c) + a*d)) - b*d^2*m)*(A*(2*c*(b*c - a*d) + b*d^2*(1 - m)
) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m))) + b*m*(-(c*(2*d*(b*c - a*d)*(B*c - (A - C)*d) - b*c*(c^2*C - B*c*d + A*
d^2)*(1 - m))) + d^2*(A*(2*c*(b*c - a*d) + b*d^2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m))))) + I*(c*(-(b*c
) + a*d)*(-2*c*(b*c - a*d)*(B*c - (A - C)*d) - b*d*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(1 - m) + d*(A*(2*c*(b*c - a*d) + b
*d^2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m)))) - d*((2*d*(b*c - a*d)*(B*c - (A - C)*d) - b*c*(c^2*C - B*c
*d + A*d^2)*(1 - m))*(-(a*d) + b*c*(1 + m)) + (-(c*(-(b*c) + a*d)) - b*d^2*m)*(A*(2*c*(b*c - a*d) + b*d^2*(1 -
m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m))) + b*m*(-(c*(2*d*(b*c - a*d)*(B*c - (A - C)*d) - b*c*(c^2*C - B*c*d +
A*d^2)*(1 - m))) + d^2*(A*(2*c*(b*c - a*d) + b*d^2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m)))))))*Hypergeo
metric2F1[1, 1 + m, 2 + m, ((-I)*a - I*b*Tan[e + f*x])/((-I)*a + b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/((a + I*b)*
f*(1 + m)) - ((I/2)*(d*(-(b*c) + a*d)*(-2*c*(b*c - a*d)*(B*c - (A - C)*d) - b*d*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(1 - m
) + d*(A*(2*c*(b*c - a*d) + b*d^2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m)))) + c*((2*d*(b*c - a*d)*(B*c -
(A - C)*d) - b*c*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(1 - m))*(-(a*d) + b*c*(1 + m)) + (-(c*(-(b*c) + a*d)) - b*d^2*m)*(A*
(2*c*(b*c - a*d) + b*d^2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m))) + b*m*(-(c*(2*d*(b*c - a*d)*(B*c - (A -
C)*d) - b*c*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(1 - m))) + d^2*(A*(2*c*(b*c - a*d) + b*d^2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d
- b*c*(1 + m))))) - I*(c*(-(b*c) + a*d)*(-2*c*(b*c - a*d)*(B*c - (A - C)*d) - b*d*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(1
- m) + d*(A*(2*c*(b*c - a*d) + b*d^2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m)))) - d*((2*d*(b*c - a*d)*(B*c
- (A - C)*d) - b*c*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(1 - m))*(-(a*d) + b*c*(1 + m)) + (-(c*(-(b*c) + a*d)) - b*d^2*m)*
(A*(2*c*(b*c - a*d) + b*d^2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*a*d - b*c*(1 + m))) + b*m*(-(c*(2*d*(b*c - a*d)*(B*c - (
A - C)*d) - b*c*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(1 - m))) + d^2*(A*(2*c*(b*c - a*d) + b*d^2*(1 - m)) + (c*C - B*d)*(2*
a*d - b*c*(1 + m)))))))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((I*a + I*b*Tan[e + f*x])/((-I)*a - b))]*(a + b*Ta
n[e + f*x])^(1 + m))/((a - I*b)*f*(1 + m)))/(c^2 + d^2))/((-(b*c) + a*d)*(c^2 + d^2)))/(2*(-(b*c) + a*d)*(c^2
+ d^2))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.805, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{ \left ( a+b\tan \left ( fx+e \right ) \right ) ^{m} \left ( A+B\tan \left ( fx+e \right ) +C \left ( \tan \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2} \right ) }{ \left ( c+d\tan \left ( fx+e \right ) \right ) ^{3}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*tan(f*x+e))^m*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e))^3,x)

[Out]

int((a+b*tan(f*x+e))^m*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e))^3,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))^m*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{{\left (C \tan \left (f x + e\right )^{2} + B \tan \left (f x + e\right ) + A\right )}{\left (b \tan \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m}}{d^{3} \tan \left (f x + e\right )^{3} + 3 \, c d^{2} \tan \left (f x + e\right )^{2} + 3 \, c^{2} d \tan \left (f x + e\right ) + c^{3}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))^m*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((C*tan(f*x + e)^2 + B*tan(f*x + e) + A)*(b*tan(f*x + e) + a)^m/(d^3*tan(f*x + e)^3 + 3*c*d^2*tan(f*x
+ e)^2 + 3*c^2*d*tan(f*x + e) + c^3), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))**m*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)**2)/(c+d*tan(f*x+e))**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (C \tan \left (f x + e\right )^{2} + B \tan \left (f x + e\right ) + A\right )}{\left (b \tan \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m}}{{\left (d \tan \left (f x + e\right ) + c\right )}^{3}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))^m*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((C*tan(f*x + e)^2 + B*tan(f*x + e) + A)*(b*tan(f*x + e) + a)^m/(d*tan(f*x + e) + c)^3, x)